定理

$v \in \mathbb{R}^n$ に対して，$A = I_n + vv^T$ という形をしているとき，逆行列の平方根は \(A^{-\frac{1}{2}} = I_n - \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + ||v||^2}}\right) \frac{vv^T}{||v||^2}\) と書ける．

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応用

データ同化の論文[1]を読んでいるときに，これを使っていると思われる変形が出てきた． 観測空間が1次元の場合で，ETKFの変換行列の表示を簡略化するときに必要．

[1] C. González-Tokman and B. R. Hunt, “Ensemble data assimilation for hyperbolic systems,” Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 243, no. 1, pp. 128–142, Jan. 2013, doi: 10.1016/j.physd.2012.10.005.

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