Key word

はじめに

初等的な不等式の備忘録です．随時更新します．

不等式

1. 2乗不等式(仮)

$ x^2 \ge 0 \hspace{2em} (\forall x \in \mathbb{R}) $

2. 三角不等式

$ |x+y| \le |x| + |y| \hspace{2em} (\forall x,y \in \mathbb{C}) $

3. 発展的三角不等式

$ p > 0 \Rightarrow |x+y|^p \le \max(1, 2^{p-1})(|x|^p + |y|^p) \hspace{2em} (\forall x,y \in \mathbb{C}) $

4. 相加・相乗・調和不等式

$ \frac{2xy}{x+y} \le \sqrt{xy} \le \frac{1}{2}(x+y) $

5. Bernoulliの不等式

$ \forall x > -1, \ \hspace{2em} r \in [0,1] \Rightarrow (1+x)^r \le 1 + rx, \ r \notin [0,1] \Rightarrow (1+x)^r \ge 1 + rx $