3次元ベクトル場

1. 回転場 (Rotation)

剛体的な回転を表すベクトル場です。

$\mathbf{v}(x,y,z) = (-y, x, 0)$

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発散 (div)

$\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = 0$

回転 (rot / curl)

$\nabla \times \mathbf{v} = (0, 0, 2)$

（回転ベクトルが空間的に一様です）

2. 湧出点 (Source)

原点から外側へ広がるベクトル場です。

$\mathbf{v}(x,y,z) = (x, y, z)$

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発散 (div)

$\nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3 > 0$

（空間全体、特に原点で div > 0 となります）

回転 (rot / curl)

$\nabla \times \mathbf{v} = (0, 0, 0)$

3. ABC流 (ABC flow)

カオス的な流線を持つ代表的な3次元定常流です。($A=B=C=5$)

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発散 (div)

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

回転 (rot / curl)

$\nabla \times \mathbf{v} = \mathbf{v}$

（速度場と回転ベクトルが平行な「ベルトラミ流」です）

凡例

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発散 (div $\mathbf{v}$) (基点の球の色)